LANDASAN TEORI PENGUJIAN DISTRIBUSI

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1.        Peubah Acak[1]

Eksperimen probabilitas memiliki keluaran (outcome) yang bisa berupa suatu nilai numerik (angka/bilangan), suatu cacahan/hitungan, atau suatu hasil pengukuran (measurement). Peubah acak (random variable) adalah sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Jadi, peubah acak dapat bernilai berapapun tergantung pada keluaran yang mungkin dihasilkan dari eksperimen. Dengan kata lain, nilai tertentu dari peubah acak dalam suatu eksperimen adalah kemungkinan keluaran yang acak.

Peubah acak diskrit adalah peubah yang memiliki nilai yang dapat dicacah (countable). Sementara peubah acak kontinu meiliki nilai yang tak terhingga banyaknya sepanjang sebuah interval yang tidak terputus. Peubah acak kontinu biasanya diperoleh dari hasil pengukuran.

2.2.        Fungsi Kepadatan Probabilitas

Secara teotiris untuk variabel acak kontinu, kurva distribusi probabilitas populasi diwakili oleh polygon frekuensi relatif yang dimuluskan. Kurvva ini dapat dinyatakan oleh suatu fungsi kontinu, misaalnya f(x). fungsi f(x) ini disebut sebagai fungsi kepadatan probabilitas (probability desinty function/pdf).

Secara imajinatif dapat dibayangkan bahwa fungsi kepadatan probabilitas (pdf) menggambarkan besarnya probabilitas per unit interval nilai variabel acaknya. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, luas daerah di bawah grafik f(x) yang dibatasi oleh sumbu x antara garis x = a dan x = b menyatakan probabilitas bahwa X terletak di antara a dan b. Secara matematik dinotasikan sebagai:

P(a ≤ X ≤ b) = p(a ≤ x ≤ b) =

Dengan demikian secara umum probabilitas sebuah peubah acak kontinu X mengambil nilai pada suatu interval antara x dan  x +  dx dapat dinyatakan dalam suatu notasi matematika:

P(x ≤ X ≤ x +  dx) = p(a ≤ x ≤ b) =

Sumber: Ronald E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika Edisi ke-3

Gambar 2.1.  Fungsi Kepadatan Probabilitas (pdf)

Dari uraian di atas dapat dipahami bahwa agar sebuah fungsi f(x) dapat menjadi sebuah pdf dari suatu variabel acak kontinu harus dipenuhi syarat:

1.   Fungsi kepadatan probabilitas (pdf): f(x) ≥ 0 (non-negatif).

2.   Integral  = 1 (luas total daerah di bawah kurva

2.3.                 Jenis-jenis Distibusi Diskrit[2]

Ruang contoh diskret adalah suatu ruang contoh yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah. Banyaknya kemunngkinan hasil suatu percobaan mungkin saja tidak terhingga atau tidak tercacah. Distribusi diskrit terdiri dari: distribusi seragam, distribusi binomial, distribusi hypergeometric, distribusi binom negative, distribusi geometric, distribusi Poisson, dan distribusi bernoulli.

2.3.1.           Distribusi Seragam^[3]

Variabel acak sederhana diskrit adalah salah satu yang mengasumsikan bahwa hanya jumlah terbatas nilai yang mungkin, masing-masing dengan probabilitas yang sama. Sebuah variabel acak X yang mengasumsikan bahwa masing-masing nilai x₁, x_2, dan x₃ dengan probabilitas yang sama .

Sebuah variabel acak X memiliki distribusi seragam diskrit dari masing-masing nilai di jangkauannya, yaitu x₁, x_2, ...... x_n memiliki peluang yang sama.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.2. Fungsi Probabilitas untuk Distribusi Seragam

2.3.2.     Distribusi Binomial

Masing-masing percobaan acak dapat dianggap sebagai terdiri dari serangkaian berulang percobaan. Variabel random dalam setiap kasus adalah hitungan jumlah percobaan yang memenuhi kriteria yang ditentukan. Hasil dari setiap percobaan baik memenuhi kriteria jumlah X atau tidak; akibatnya, setiap percobaan dapat diringkas sebagai menghasilkan sukses atau gagal. Misalnya, dalam percobaan pilihan ganda, untuk setiap pertanyaan, hanya pilihan yang benar dianggap sukses. Memilih salah satu dari tiga yang salah pilihan hasil yang diringkas sebagai kegagalan.

Istilah sukses atau gagal adalah label. Bisa juga menggunakan A dan B atau 0 dan 1. Sebuah uji coba dengan hanya dua hasil yang mungkin begitu sering digunakan dari percobaan acak yang disebut Percobaan Bernoulli. Itu biasanya diasumsikan bahwa uji coba yang merupakan percobaan acak independen. Hal ini menyiratkan bahwa hasil dari satu percobaan tidak berpengaruh pada hasil yang akan diperoleh dari setiap percobaan lainnya. Selain itu, sering diasumsikan bahwa probabilitas sukses di setiap percobaan adalah konstan.

Variabel acak X yang sama dengan jumlah percobaan yang menghasilkan suksesmemiliki variabel acak binomial dengan parameter 0 < p < 1 dan n = 1,2,..... Fungsi probabilitas dari X adalah

f (x) = ,         untuk x = 0, 1, 2, ..., n.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.3. Distribusi Binomial dengan Nilai n dan p

2.3.3.     Distribusi Hypergeometric[4]

Penelitian ini pada dasarnya berbeda dari contoh-contoh berdasarkan distribusi binomial. Dalam percobaan ini, percobaan tidak independen. Perhatikan bahwa dalam kasus yang tidak biasa bahwa setiap unit yang dipilih diganti sebelum pemilihan berikutnya, cobaan yang independen dan ada kemungkinan konstan menjadi bagian yang tidak sesuai pada setiap percobaan. Kemudian, jumlah bagian yang tidak sesuai dalam sampel adalah variabel acak binomial.

Satu set N benda memuat :

1.        K benda diklasifikasikan sebagai keberhasilan

2.        N-K benda diklasifikasikan sebagai kegagalan

Sebuah sampel berukuran n objek yang dipilih secara acak (tanpa penggantian) dari benda N dimana K ≤  N dan n ≤ N. Biarkan variabel acak X menyatakan jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka X adalah variabel acak hipergeometrik dan

f (x) = ,             x = max {0, n + K - N} min{K, n}

Pernyataan min digunakan dalam definisi kisaran X Karena jumlah maksimum keberhasilan yang dapat terjadi dalam sampel adalah lebih kecil dari ukuran sampel, n, dan jumlah keberhasilan yang tersedia, K. Jika n + K > N, setidaknya n + K - N keberhasilan harus terjadi dalam sampel.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.4. Distribusi Hypergeometric dengan Parameter N,K, dan n

2.3.4.           Distribusi Binom Negative^[5]

Sebuah generalisasi dari distribusi geometrik di mana variabel acak adalah jumlah percobaan Bernoulli yang dibutuhkan untuk mendapatkan r hasil keberhasilan dalam distribusi binomial negatif. Dalam serangkaian percobaan Bernoulli (percobaan independen dengan probabilitas konstan pof sukses), biarkan variabel acak X menyatakan jumlah percobaan sampai r keberhasilan terjadi. Kemudian X adalah variabel acak binomial negatif dengan parameter 0 < p < 1 dan r = 1,2,3,....,n

P (x) =   ,           untuk x = r, r + 1, r + 2, ...

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.5. Distribusi Binom Negative dengan Parameter r dan p

2.3.5.     Distribusi Geometrik^[6]

Perhatikan percobaan acak yang berkaitan erat dengan yang digunakan dalam definisi distribusi binomial. Sekali lagi, menganggap serangkaian uji coba Bernoulli (percobaan independen dengan probabilitas konstan sukses pada setiap percobaan). Namun, alih-alih tetap jumlah percobaan, uji coba dilakukan sampai sukses diperoleh. Biarkan variabel acak X menyatakan jumlah percobaan sampai keberhasilan pertama.

Dalam serangkaian percobaan Bernoulli (percobaan independen dengan probabilitas konstan sukses), biarkan variabel acak X menyatakan jumlah percobaan sampai keberhasilan pertama.

Maka X adalah variabel acak geometrik dengan parameter 0 < p < 1.

P(x) = (1-p)^x-1p x = 0, 1, 2, ….

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.6. Distribusi Geometrik dengan Parameter p

2.3.6.     Distribusi Poisson^[7]

Distribusi Poisson dijelaskan dalam bentuk contoh.

Perhatikan transmisi n bit melalui saluran komunikasi digital. Biarkan variabel acak X sama dengan jumlah bit dalam kesalahan. Ketika probabilitas menyatakan bahwa sedikit kesalahan konstan dan transmisi independen, X memiliki distribusi binomial. Biarkan p menyatakan probabilitas bahwa sedikit kesalahan. λ = pn, dan E(x) = pn = λ, dan

P (X=x) =  =

Sekarang, anggaplah bahwa jumlah bit yang ditransmisikan meningkat dan probabilitas kesalahan menurun cukup tepat pn tetap sama dengan konstan. Artinya, n meningkat dan p menurun sesuai, sehingga E (X) tetap konstan. Kemudian, dengan beberapa pekerjaan, dapat ditunjukkan bahwa

Juga, karena jumlah bit yang ditransmisikan cenderung tak terbatas, jumlah kesalahan dapat sama setiap bilangan bulat positif. Oleh karena itu, kisaran X adalah bilangan bulat dari nol hingga tak terbatas.

Diberikan interval bilangan real, asumsikan jumlah terjadi secara acak di seluruh interval. Jika interval dapat dibagi menjadi subinterval panjang cukup kecil sehingga

1.    Probabilitas lebih dari satu hitungan di sub interval adalah nol,

2.    Probabilitas satu hitungan di sub interval adalah sama untuk semua subinterval dan sebanding dengan panjang dari sub interval, dan

3.    Hitungan di setiap sub interval adalah independen dari subinterval lainnya, percobaan acak disebut proses Poisson.

Variabel acak X yang sama dengan banyaknya jumlah dalam interval adalah variabel acak Poisson dengan parameter 0 < λ dan fungsi probabilitas dari X adalah sebagai berikut.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.7. Distribusi Poisson

2.3.7.     Distribusi Bernoulli[8]

Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli yang memenuhi syarat:

1.      Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari sukses atau gagal

2.      Jika probabilitas sukses p, maka  probabilitas gagal q = 1 – p.

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, di mana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:

P_B

                                                            0 ≤ p ≤ 1

2.4.                 Jenis-jenis Distribusi Kontinu

Distribusi kontinu adalah salah satu jenis distribusi dalam perhitungan statistik. Jenis-jenis distribusi kontinu adalah sebagai berikut:

2.4.1.           Distribusi Normal[9]

Tidak diragukan lagi, model yang paling banyak digunakan untuk distribusi variabel acak adalah distribusi normal. Setiap kali percobaan acak direplikasi, variabel acak yang sama dengan rata-rata atau total hasil selama ulangan cenderung memiliki distribusi normal sebagai jumlah ulangan menjadi besar. De Moivre yang menyajikan hasil mendasar ini, dikenal sebagai pusat teorema limit.

Landasan teori dari distribusi normal disebutkan untuk membenarkan bentuk fungsi rumit kepadatan probabilitas. Tujuannya adalah untuk menghitung probabilitas untuk variabel acak normal. Teorema limit sentral akan menyatakan dengan lebih hati-hati nanti. Variabel acak dengan cara yang berbeda dan variasi dapat dimodelkan oleh probabilitas normal fungsi kepadatan dengan pilihan yang tepat dari pusat dan lebar kurva. Itu nilai menentukan pusat fungsi kepadatan probabilitas dan nilai menentukan lebar fungsi dengan nilai-nilai yang dipilih dari dan 2. Masing-masing memiliki simetris karakteristik bell berbentuk kurva, tapi pusat dan dispersi berbeda. Definisi berikut memberikan rumus untuk yang fungsi normal kepadatan probabilitas.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.8. Kurva Normal dengan Parameter ²

Variabel acak dengan cara yang berbeda dan variasi dapat dimodelkan oleh probabilitas kepadatan fungsi normal dengan pilihan yang tepat dari pusat dan lebar kurva. Nilai tersebut menentukan pusat probabilitas kepadatan fungsi dan nilai menentukan lebar. Probabilitas kepadatan fungsi normal dengan nilai-nilai yang dipilih dari 2. Masing-masing memiliki simetris karakteristik bell berbentuk kurva, tapi pusat dan dispersi berbeda. Definisi berikut memberikan rumus untuk probabilitas kepadatan fungsi normal. Sebuah variabel X acak dengan fungsi kepadatan probabilitas

f(x) =

adalah variabel acak normal dengan parameter dimana dan  juga

E(x) = ² Dan notasi N(  digunakan untuk denotasi distribusi.

Untuk menunjukkan bahwadaerah di bawah fungsi kepadatan probabilitas normal dari 
 
 adalah 1variabel acak normal dimana 
 
dan
 
2 = 1 disebut standar normal variabel acak dan dinotasikan sebagai Z. Fungsi distribusi kumulatif dari standar normal variabel acak dinotasikan 

ϕ (z) = P(Z≤z)

Jika X adalah variabel acak normal dengan E(x) = ² maka variabel acak

z =

dengan variabel acak E(Z) =0 dan V(Z) =1. Maka Z adalah standar normal variabel acak. Misalkan X adalah variabel acak normal dengan rata-rata dan varian 2. Kemudian,

P(X≤x)  =P( 
 

Dimana Z adalah standar normal variabel acak. Dan z = 
 
 adalah nilai z yang diperoleh dari hasil standarisasi X. 

2.4.2.           Distribusi T[10]

Pada tahun 1908, W.S. Gosset mempublikasikan sebuah makalah yang memuat keberhasilannya menurunkan sebaran peluang bagi T. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada sebuah pabrik bir milik orang Irlandia yang tidak mengizinkan publikasi hasil-hasil penelitian para stafnya. Untuk mengatasi hal ini, ia mempublikasikan karyanya itu dibawah nama samaran ”Student”. Sejak itu, sebaran bagi T disebut sebaran t-Student atau ringkasnya sebaran t.

Sebaran t menyerupai sebaran z, dalam hal keduanya setangkup di sekitar nilai tengah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta namun, sebaran t lebih bervariasi, berdasarkan kenyataan bahwa nilai t bergantung pada fluktuasi dua besaran yaitu x dan s², sedangkan nilai z bergantung pada perubahan x dari satu contoh ke contoh lainnya. Sebaran bagi t berbeda dengan sebaran bagi z dalam hal ragamnya bergantung pada ukuran contoh n dan selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran contoh  kedua sebaran itu menjadi sama.

Untuk contoh berukuran n≥ 30, nilai dugaan yang baik bagi σ² diberikan oleh s². Dengan demikian apa yang terjadi dengan sebaran nilai-nilai z dalam Dalil Limit Pusat bila kita mengganti σ² dengan s². Asalkan s² merupakan nilai dugaan yang baik bagi σ² dan tidak terlalu bervariasi dari contoh satu ke contoh lainnya, dan inilah yang terjadi bila n≥ 30, maka nilai-nilai (  - µ)/(s/√n) masih menyebar menghampiri sebaran normal baku, sehingga Dalil Limit Pusat tetap berlaku.

Bila ukuran contohnya kecil (n< 30), nilai-nilai s² berfluktuasi cukup besar dari contoh satu ke cotoh lainnya, dan sebaran nilai-nilai (  - µ)/(s/√n) tidak lagi normal baku. Bila demikian halnya, kita sesungguhnya berhadapan dengan sebaran untuk statistik yang disebut T, yang nilai-nilainya adalah

t =

2.4.3.           Distribusi F[11]

Disebut juga pengujian simultan/serentak.Pengujian ini melibatkan kedua variabel bebas yaitu X1 dan X2 terhadap variabel terikat yaitu Y. Tujuannya adalah untuk mengetahui apakah ada tidaknya pengaruh yang signifikan dari kedua koefisen regresi dari variabel X1 dan X2 (b1 dan b2) secara simultan atau serentak terhadap variabel Y. Pengujian secara simultan menggunakan distribusi F, yaitu membandingkan antara F hitung dan F tabel. Persamaan umumnya adalah :

𝐹= 𝑅2 (𝑛−𝑚−1)𝑚 (1−𝑅2)

 Keterangan:

F          = Nilai signifikansi

R         = Koefisien korelasi berganda

n          = Jumlah responden

m         = Jumlah variabel bebas

Kontrol dari pengujian ini dilakukan dengan tabel distribusi F. Berdasarkan kriteria pengujian satu sisi kanan (Sunyoto, 2011), maka terdapat pengaruh yang signifikan jika F hitung ≥ F tabel.

2.4.4.           Distribusi Chi-Square[12]

Distribusi Chi kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistic infrensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk , di mana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala .

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kuadrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probablitas dar X adalah:

2.4.5.           Distribusi Weibull[13]

Seperti disebutkan sebelumnya, distribusi Weibull sering digunakan untuk model waktu sampai kegagalandari banyak sistem fisik yang berbeda. Parameter dalam distribusi memberikan banyakfleksibilitas untuk sistem model di mana jumlah kegagalan meningkat dengan waktu (bearing wear), berkurang dengan waktu (beberapa semikonduktor), atau tetap konstan dengan waktu (kegagalan disebabkan oleh guncangan eksternal ke sistem). Sebuah variabel X acak dengan fungsi kepadatan probabilitas adalah variabel acak weibull  dengan parameter skala 
 
dan parameter bentuk 
 
.

 
 exp 
 
 dengan x>0

Dengan memeriksa fungsi kepadatan probabilitas, terlihat bahwa ketika  , distribusi Weibull identik dengan distribusi eksponensial. Fungsi distribusi kumulatif sering digunakan untuk menghitung probabilitas.  Jika X adalah distribusi weibull dengan parameter  maka distribusi kumulatif fungsi X adalah

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.9. Disitribusi Weibull dengan Parameter Skala dan Parameter Bentuk

Jika X adalah distribusi weibull dengan parameter  dan

µ = E(x) = ² = V(x) =  -

2.4.6.           Distribusi Lognormal[14]

Variabel dalam suatu sistem kadang-kadang mengikuti hubungan eksponensial. Jika eksponen adalah variabel acak, katakan adalah variabel acak dan distribusi X adalah kepentingan. Sebuah kasus khusus yang penting terjadi ketika W memiliki distribusi normal. Dalam hal ini, distribusi X disebut distribusi lognormal. Nama berikut dari ln transformasi. Artinya, logaritma natural dari X terdistribusi normal. Probabilitas untuk X diperoleh dari transformasi ke W, tapi kita perlu mengenali bahwa kisaran X misalkan W terdistribusi normal dengan mean dan varians; maka fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah

F(x) = P [ X≤x]= Pexp (W)≤ x] =P[W ≤ ln(x)]

= P [ Z ≤ 
 
] = ϕ [
 
]

Untuk x>0, dimana Z adalah standar normal variabel acak. Fungsi kepadatan probabilitas X dapat diperoleh dari turunan F (x).

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.10. Distribusi Lognormal dengan ²

Distribusi Lognormal variabel acak dengan fungsi kepadatan probabilitas

f(x) =  exp [ ]² 0 < x <

E(X) =  dan V(X) =

2.4.7.           Distribusi Erlang[15]

Variabel acak eksponensial menjelaskan panjang sampai hitungan pertama diperoleh dalam proses Poisson. Sebuah generalisasi dari distribusi eksponensial adalah panjang sampai jumlah r terjadi dalam proses Poisson. Variabel acak yang sama dengan panjang selang waktu sampai jumlah r terjadi dalam proses Poisson memiliki variabel acak Erlang.

Disitribusi kumulatif dari variabel sampel acak Erlang  diperoleh dari hasil P(X≤x) = 1 – P(X>x). Fungsi kepadatan probabilitas dari X diperoleh dari hasil fungsi distribusi kumulatif menggunakan persamaan aljabar. Fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah

F(x) =  untuk x>0 dan r = 1,2,….

Variabel acak Erlang dengan adalah eksponensial variabel acak. Probabilitas yang melibatkan variabel acak Erlang sering ditentukan oleh komputasi penjumlahan dari variabel acak Poisson. Probabilitas fungsi kepadatan dari variabel acak Erlang dapat digunakan untuk menentukan probabilitas. Namun, integrasi parsial sering diperlukan seperti yang terjadi untuk distribusi eksponensial, harus berhati-hati untuk menentukan variabel acak dan parameter di unit konsisten.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.11. Distribusi Erlang dengan nilai r dan λ

Variabel acak Erlang dapat dianggap sebagai analog terus menerus variabel acak binomial negatif. Sebuah variabel acak binomial negatif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari r variabel acak geometris. Demikian pula, variabel acak Erlang dapat direpresentasikan sebagai jumlah r variabel acak eksponensial. Menggunakan kesimpulan ini, kita dapat memperoleh berikut hasil yang masuk akal. Jika X adalah variabel acak Erlang dengan parameter r dan λ

µ = E(X) = r / λ dan σ²  = V(X) = r / λ²

2.4.8.           Distribusi Eksponensial[16]

Pembahasan distribusi Poisson mendefinisikan variabel acak menjadi jumlah kelemahan sepanjang panjang kawat tembaga. Jarak antara kelemahan adalah variabel random lain yang sering menarik. Biarkan variabel acak X menyatakan panjang dari setiap titik awal dari kawat sampai cacat terdeteksi. Seperti yang mungkin Anda harapkan, distribusi X dapat diperoleh dari pengetahuan tentang distribusi jumlah kekurangan. Kunci untuk hubungan adalah konsep berikut. Itu jarak ke cacat pertama melebihi 3 milimeter jika dan hanya jika ada kekurangan dalam panjang a dari 3 milimeter-sederhana, tapi cukup untuk analisis distribusi X. Secara umum, biarkan variabel random N menunjukkan jumlah kekurangan di x milimeter kawat. Jika jumlah rata-rata kelemahan adalah per milimeter, N memiliki distribusi Poisson dengan mean. Kami berasumsi bahwa kawat lebih panjang dari nilai x. Sekarang,

P(X>x) = P (N=0) =  =

F(x) = P(X≤x) = 1 – , x ≥ 0

f(x) = , x ≥ 0

Derivasi dari distribusi X hanya bergantung pada asumsi bahwa kekurangan dalamkawat mengikuti proses Poisson. Titik awal untuk mengukur X tidak masalah karena probabilitas jumlah kekurangan dalam selang waktu proses Poisson tergantung hanya pada panjang interval, bukan pada lokasi. Untuk setiap proses Poisson, berikut hasil umum yang berlaku. Variabel acak X yang sama dengan jarak antara jumlah berturut dari proses Poisson dengan rata-rata 
 
> 0 adalah variabel acak eksponensial dengan parameter 
 
 Fungsi kepadatan probabilitas X adalah

f(x) =  untuk 0 ≤ x <

jika variabel acak X distribusi eksponensial dengan parameter 
 

µ = E(X) = 
 
2  V(X) = 
 

Hal ini penting untuk menggunakan unit konsisten dalam perhitungan probabilitas, rata-rata, dan varians melibatkan variabel acak eksponensial.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.12. Distribusi Eksponensial dengan Parameter

2.4.9.     Distribusi Gamma[17]

Distribusi Erlang adalah kasus khusus dari distribusi gamma. Jika parameter r dari variabel acak Erlang tidak integer, tapi variabel random memiliki gamma a distribusi. Namun, dalam fungsi kepadatan Erlang, parameter r muncul sebagai r faktorial. Oleh karena itu, untuk menentukan variabel acak gamma, kita memerlukan generalisasi factorial fungsi.fungsi gamma adalah

Г (r) =  untuk r>0

           Variabel acak X dengan fungsi kepadatan probabilitas

 untuk x>0

Memilki variabel acak gamma dengan parameter λ > 0 dan r > 0. Jka r adalah integer maka X adalah distribusi Erlang.Jika X adalah variabel acak gamma dengan parameter λ dan r

µ = E(X) = r/ λ dan σ² = V(X) = r/ λ²

Meskipun distribusi gamma tidak sering digunakan sebagai model untuk sistem fisik, kasus khusus dari distribusi Erlang sangat berguna untuk pemodelan eksperimen acak. Distribusi chi-squared adalah kasus khusus dari distribusi gamma di mana λ = ½ dan r sama dengan salah satu nilai 1 2, 1, 3 2, 2, p. Distribusi tersebut digunakan secara luas dalam estimasi interval dan uji hipotesis.

Sumber: Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability  for Engineers Third Edition (New York: John Wiley & Sons, Inc., 2003)

Gambar 2.13. Distribusi Gammadengan Nilai λ dan r

2.4.10.       Distribusi Laplace[18]

Distribusi Laplace – seringkali juga disebut sebagai double exponential distribution karena dapat dipandang sebagai dua buah distribusi eksponensial identik yang dipasangkan dengan posisi saling membelakangi – ditemukan oleh Laplace pada tahun 1774. Distribusi ini memiliki fungsi likelihood yang maksimal dengan mengatur parameter lokasi menjadi sama dengan median dari suatu nilai observasi yang berasal dari variabel acak berjumlah ganjil yang independen dan terdistribusi secara identik. Distribusi ini pertama kali terdapat pada makalah Laplace yang fundamental mengenai distribusi simetris untuk menjelaskan pengukuran kesalahan (error) dan seringkali dikenal sebagai hukum Laplace pertama dan (Johnson, Kotz, dan Balakrishnan, 1995; Balakrishnan dan Nevzorov, 2003).Fungsi distribusi probabilitasnya adalah sebagai berikut:

Dimana µ adalah parameter lokasi dan λ adalah parameter skala, seringkali disebut sebagai diversity dengan besaran ≥ 0. Nilai x memiliki rentang dari –∞ sampai dengan +∞. Jika µ = 0 dan λ = 1 maka akan tepat didapat sebuah distribusi eksponensial positif dengan skala ½.

Distribusi Laplace adalah distribusi yang simetris dengan median pada µ nya, memiliki varians = 2, dengan kemencengan sebesar 0 dan ekses kurtosis sebesar 3 yang menunjukkan bahwa distribusi ini memiliki ekor yang lebih tebal dari distribusi normal. Jika distribusi ini digeser, maka yang berubah adalah µ nya sementara semua parameter yang lain akan tetap. Untuk bidang keuangan, Mittnik dan Rachev (1993) menggunakan distribusi Laplace untuk memodelkan distribusi unconditional untuk tingkat imbal hasil dari asset sementara penggunaan distribusi Laplace dalam konteks pemodelan GARCH dilakukan oleh Granger dan Ding (1995) untuk index S&P 500 serta Gonzalez-Rivera (1997). Selain itu, Mittnik, Paolella, dan Rachev (1998) menggunakan distribusi Laplace untuk memodel distribusi unconditional dan conditional dari indeks Nikkei.

2.4.11.       Distribusi Beta[19]

Distribusi Beta adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang didefenisikan pada interval [0; 1] dan memiliki dua parameter bernilai positif, dilambangkan dengan _dan _, yang berperan sebagai eksponen variabel acak dan mengontrol bentuk dari distribusi Beta. Fungsi kepekatan peluang distribusi Beta dapat dinyatakan sebagai berikut.

dimana_α> 0, β> 0 dan B(α; β) adalah fungsi Beta.

Dalam penelitian ini akan dikaji bagaimana menduga parameter distribusi Beta dengan menggunakan berbagai metode pendugaan dan bagaimana perbandingan keefisienan penduga tersebut. Dua metode yang akan dikaji pada penelitian ini adalah metode momen dan metode kemungkinan maksimum.

2.4.12.       Distribusi Triangular[20]

Distribusi triangular merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan 3 parameter yaitu nilai minimum  dengan , nilai maksimum b dengan b >  dan nilai yang paling mungkin m dengan . Lambang dari distribusi ini adalah Tr . Misalkan X adalah suatu peubah acak yang berdistribusi Triangular dengan parameter  , b, dan m, maka X dapat ditulis dengan lambang X~Tr .

Bentuk dan sifat-sifat peluang dari distribusi triangular seperti fungsi densitas peluang, fungsi distribusi kumulatif, ekspektasi, variansi, fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik, momen, bentuk kemiringan dan keruncingan kurva distribusi triangular. Hubungan distribusi triangular dengan distribusi Beta adalah jika X~Beta (1,2), makaX~T_r (0,0,1) left asymmetric triangular, dan jika X~Beta (2,1), maka X~T_r (1,0,1) right asymmetric triangular. Sedangkan hubungan distribusi triangular dengan distribusi uniform adalah jika X₁~U(0,1) dan X₂~U(0,1), X₁dan  X₂saling bebasmaka ~T_r (1,0,2) symmetric triangular.

2.4.13.       Distribusi Cauchy[21]

Fungsi karakteristik variabel random X-Cau (a,b) dengan a merupakan parameter lokasi dan b parameter skala dinyatakatan sebagai:

fx (t) = exp ait – b |t|

Jika Y-Cau (0,1) α € R, b > 0 maka distribusi dari variabel random X = a + bY memiliki fungsi kepadatan peluang

Disebut sebagai distribusi cauchy dan dinyatakan sebagai X-Cau (a,b).

2.5.                 Pengujian Distribusi[22]

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Benar atau salahnya populasi tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali bila seluruh populasinya diperiksa. Tentu saja dalam kebanyakan situasi hal ini tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu dapat diambil suatu contoh acak dari populasi tersebut dan mengunakan informasi yang dikandung contoh itu untuk memutuskan apakah hipotesis tersebut kemungkinan besar benar atau salah. Bukti dari contoh yang tidak konsisten dengan hipotesis yang dinyatakan tentu saja membawa pada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti yang mendukung hipotesis tersebut akan membawa pada penerimaannya.

Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak akan membawa penggunaan istilah hipotesis nol yang dilambangkan dengan H₀. Penolakan H₀ akan mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif yang dilambangkan dengan H₁. Hipotesis nol mengenai suatu parameter populasi harus diucapkan sedemikian muka sehingga menyatakan dengan pasti sebuah nilai bagi parameter itu, sedangkan hipotesis alternatifnya membolehkan beberapa kemungkinan nilainya. Jadi bila H₀ menyatakan hipotesis nol bahwa p = 0,5 bagi suatu populasi binom, maka hipotesis alternatifnya H₁ dapat berupa p > 0,5 , p < 0,5 atau p ≠ 0,5.

2.6.                 P-Value[23]

Salah satu cara untuk melaporkan hasil uji hipotesis adalah untuk menyatakan bahwa hipotesis nol itu ditolak atau tidak ditolak pada nilai ɑ atau tingkat signifikansi yang ditentukan. Untuk menghindari kesulitan ini pendekatan P-Value telah diadopsi secara luas dalam praktek.P-Value adalah probabilitas bahwa uji statistik akan mengambil nilai yang setidaknya sama ekstrim sebagai nilai yang diamati dari statistik ketika hipotesis H0 benar. Dengan demikian, P-Value menyampaikan banyak informasi tentang berat bukti terhadap H0, sehingga keputusan pembuat dapat menarik kesimpulan pada setiap tingkat tertentu signifikansi. 

P-Value adalah tingkat terkecil signifikansi yang akan mengakibatkan penolakan hipotesis nol H0 dengan data yang diberikan. Ini adalah alat untuk memanggil uji statistik data yang signifikan ketika hipotesis nol H0 ditolak. Oleh karena itu, P-Value sebagai tingkat terkecil di mana data yang signifikan. Setelah P-Value diketahui, pengambil keputusan dapat menentukan bagaimana signifikan data tanpa analis data yang secara resmi memberlakukan tingkat terpilih dari makna. Untuk tes distribusi normal tersebut relatif mudah untuk menghitung P-Value. Jika Z0 adalah nilai yang dihitung dari statistik uji, P-Value adalah: 

P = 2 [ 1-ϕ (z₀)]        untuk uji 2 arah: H_0: µ = µ₀             H₁ :  µ≠ µ₀

          1- ϕ (z₀₎                  untuk uji batas atas : H_0: µ = µ₀      H₁ :  µ > µ₀

          ϕ (z₀₎                        untuk uji batas atas :H_0: µ = µ₀         H₁ :  µ < µ₀

2.7.        Jadwal Perawatan Preventive pada Mesin Dyeing Menggunakan Metode Age Replacement di PT. Nobel Industries[24]

2.7.1.     Pendahuluan

2.7.1.1. Pengantar

Dalam proses produksi dibutuhkan kebijakan untuk memperhatikan sumber daya pendukung proses produksi. Sumber daya yang ada pada perusahaan adalah sumber daya manusia dan sumber daya mesin. Sumber daya mesin diperlukan karena terdapat proses produksi yang tidak dapat dilakukan oleh manusia, seperti proses permesinan yang rumit dengan waktu proses yang telah ditentukan. Terdapat berbagai macam jenis mesin yang digunakan di PT. Nobel Industries, mesin-mesin tersebut diantara lain adalah adalah mesin Dyeing, Hydro Dryer, Dryer, Bleinding, Carding, Spinning, Twister, dan Winding. Namun diantara semua mesin yang digunakan mesin dyeing merupakan salah satu mesin yang selalu dipakai dalam proses produksi di PT. Nobel Industries. Mesin dyeing perlu mendapatkan perhatian karena perusahaan hanya memiliki 1 (satu) unit mesin saja, dan apabila mesin tersebut mengalami kerusakan maka akan berakibat terhambatnya proses produksi di perusahaan.

2.7.1.2.Identifikasi Masalah

Mesin dyeing merupakan mesin yang sangat vital untuk mendukung proses produksi di perusahaan PT. Nobel Industries karena biayanya yang paling besar dan perusahaan hanya memiliki 1 (satu) unit mesin saja. Saat ini perusahaan belum menggunakan kebijakan preventive maintenance dan masih menggunakan kebijakan correvtive maintenance. Dalam penjadwalan perawatan preventive terdapat variabel hari kerja mesin sebagai acuan interval waktu untuk melakukan penggantian pencegahan kerusakan. Metode yang digunakan untuk menghitung interval waktu penggunaan komponen untuk mencegah kerusakan adalah metode age replacement. Metode age replacement merupakan metode penjadwalan penggantian komponen berdasarkan umur komponen yang optimal (Jardine, 1973).

2.7.2.     Studi Literatur

2.7.2.1. Perawatan

Perawatan atau maintenance adalah aktivitas agar suatu komponen atau sistem yang rusak dapat dikembalikan atau diperbaiki dalam suatu kondisi tertentu pada periode tertentu (Ebeling, 1997). Menurut pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa maintenance merupakan suatu tindakan untuk menjaga atau memelihara fasilitas maupun memperbaiki fasilitas yang rusak sehingga saat akan digunakan fasilitas tersebut dapat bekerja sesuai fungsinya dan manajemen perawatan industri adalah upaya pengaturan aktivitas untuk menjaga kontinuitas produksi, sehingga dapat menghasilkan produk yang berkualitas dan memiliki daya saing, melalui pemeliharaan fasilitas.

2.7.2.2. Distribusi Kerusakan

Distribusi kerusakan merupakan informasi dasar mengenai umur pakai suatu fasilitas baik peralatan atau mesin dalam suatu populasi tertentu. Distribusi kerusakan serta karakteristik kerusakan pada setiap alat dapat berbeda-beda. Ada beberapa distribusi yang dapat menggambarkan karakteristik kerusakan suatu alat, baik yang memiliki laju kerusakan konstan maupun yang memiliki laju kerusakan tidak konstan. Untuk yang memiliki laju kerusakan konstan dan tidak berubah terhadap waktu menggunakan distribusi eksponensial. Sementara untuk yang memiliki laju kerusakan tidak konstan menggunakan distribusi normal, distribusi Weibull dan distribusi Lognormal.

2.7.2.3.  Kebijakan Penggantian Pencegahan (Preventive Maintenance)

Penggantian pencegahan dilakukan pada waktu yang optimal sebelum kerusakan terjadi. Penentuan waktu penggantian pencegahan optimal tergantung pada tujuan yang ingin dicapai, yaitu meminimasi biaya atau memaksimumkan ketersediaan. Berikut merupakan model kebijakan perawatan, yaitu:

1.  Block Replacement, waktu penggantian pencegahannya tergantung pada perioda yang telah ditentukan, jika terjadi kerusakan maka waktu penggantian pencegahannya tetap pada perioda yang telah ditentukan.

2. Age Replacement, waktu penggantian pencegahan tergantung pada umur komponen yang mengalami kerusakan. Jika terjadi kerusakan, maka waktu penggantian pencehannya akan di atur ulang.

2.7.3.     Metodologi Penelitian

2.7.3.1. Perumusan Masalah

Permasalahan yang dihadapi perusahaan yaitu sering terjadi kerusakan komponen pada saat mesin sedang beroperasi karena tidak adanya kebijakan penggantian pencegahan. Komponen kritis mesin dyeing adalah air pressure switch, diapram dan main shaft dan kerusakan pada komponen kritis dapat menyebabkan kerusakan pada komponen lain. Kerusakan komponen pada saat proses produksi bErlangsung menyebabkan kerugian bagi perusahaan, karena proses produksi terhambat. Untuk itu perlu dibuat interval penggantian pencegahan komponen kritis berdasarkan ongkos penggantian terkecil.

2.7.3.2. Pengumpulan Data

Data yang dikumpulkan untuk mendukung penelitian ini meliputi data tanggal kerusakan komponen, data harga komponen, data waktu penggantian pencegahan, data waktu penggantian kerusakan, data biaya pencegahan dan data biaya kerusakan.

2.7.3.3.  Pengolahan Data

Data-data yang telah dikumpulkan selanjutnya diolah sesuai dengan kebutuhannya. Berikut pengolahan data yang dilakukan: penentuan komponen kritis, perhitungan interval kerusakan, uji pearson product moment (perhitungan index of fit), perhitungan parameter distribusi kerusakan terpilih, perhitungan interval penggantian pencegahan komponen

2.7.4.     Analisis

2.7.4.1. Analisis Komponen Kritis

Terdapat tiga komponen kritis yang didapat karena telah memenuhi kriteria diagram pareto, yaitu 80% jumlah biaya penggantian komponen dialokasikan untuk ketiga komponen ini, komponen kritis tersebut adalah air preasure switch, diapram dan main shaft. Air preassure switch merupakan suatu komponen yang digunakan untuk penggantian warna sesuai dengan yang diinginkan. Salah satu penyebab air preassure switch cepat mengalami kerusakan adalah frekuensi pemakai dan putaran mesin yang tinggi. Kerusakan air preassure switch dapat berimbas pada produk, karena warna produk dapat tidak sesuai dengan yang diinginkan. Diapram merupakan suatu komponen yang berfungsi menarik benang dalam larutan caustic soda agar menambah daya serap dan kekuatan tarik benang proses ini dilakukan pada suhu rendah. Salah satu penyebab diapram cepat mengalami kerusakan saat laju putaran mesin yang sangat tinggi mengakibatkan waktu yang tidak sesuai. Keusakan diapram dapat berimbas pada produk yang mengakibatkan warna yang akan diberikan tidak akan timbul. Main shaft merupakan suatu komponen yang berfungsi sebagai poros penerus putaran yang akan diteruskan oleh v-belt mengikuti laju putaran pada mesin atau alat yang dikaitkan. Salah satu penyebab main shaft cepat mengalami kerusakan kurang lebih sama seperti air preassure switch yaitu frekuensi pemakai dan putaran mesin yang tinggi yang dapat menyebabkan keausan, fleksibilitas main shaft berkurang atau getas. Kerusakan main shaft dapat berimbas pada produk yang mengakibatkan penggumpalan benang.

2.7.4.2.  Analisis Interval Penggantian Optimal

Pada komponen air preassure switch perhitungan interval berdasarkan distribusi Weibull dan komponen air preassure switch harus diganti pada saat mesin sudah beroperasi selama 89 hari, yang berarti terdapat 4 kali penggantian pencegahan yang dilakukan dalam interval satu tahun. Pada komponen diapram perhitungan interval berdasarkan distribusi Lognormal dan komponen diapram harus diganti pada saat mesin sudah beroperasi selama 127 hari, yang berarti terdapat 2 kali penggantian pencegahan yang dilakukan dalam satu tahun. Pada komponen main shaft perhitungan interval berdasarkan distribusi Weibull dan komponen main shaft harus diganti pada saat mesin sudah beroperasi selama 92 hari, yang berarti terdapat 4 kali penggantian pencegahan yang dilakukan dalam satu tahun.

2.7.5.     Kesimpulan

Hasil perhitungan interval penggantian pencegahan untuk komponen air preassure switch yaitu pada titik 89 hari dengan ekspektasi biaya penggantian Rp 37.780/hari, pada komponen diapram yaitu pada titik 127 hari dengan ekspektasi biaya penggantian sebesar Rp 23.539/hari sedangkan pada komponen main shaft pada titik 92 hari dengan ekspektasi biaya penggantian sebesar Rp 27.861/hari.

---

[1]Harinaldi. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains.(Jakarta: Erlangga.2005). hlm 62-66.

[2] Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika Edisi Ketiga,  (Jakarta: PT.Gramedia Pustaka                Utama, 1992), hlm. 115.

[3]Douglas C. Montgomery,Applied Statistics and Probability for Engineers, 2003,    (New    York:John Willey & Sons), hlm. 70-75

[4]Ibid, hlm. 84-85

[5]Ibid. hlm. 80-81

[6]Ibid.hlm. 78-79

[7]Ibid, hlm. 89-91

[8]Harinaldi,  op. cit.  hlm.77-78

[9]Douglas C. Montgomery,op.cit. hlm. 109-113

[10]Ronald E. Walpole,op.cit.  hlm. 215-219

[11]Raldo Septian  Victor Kaligis, Pengaruh Implementasi Program Keselamatan Dan Kesehatan Kerja (K3) Terhadap Produktivitas Kerja, (Jurusan Teknik Sipil Universitas Sam Ratulangi: 2013).hlm.219-225

[12]Harinaldi, op.cit., hlm.105

[13]Douglas C. Montgomery, op..cit. hlm.133-135

[14] Ibid, hlm 135-136

[15]Ibid, hlm. 128-130

[16]Ibid, hlm.102-104

[17]  Ibid, hlm 130-132

[18]Brady Rikumahu, Pemodelan Distribusi Tingkat Imbal Hasil Indeks Harga di Tujuh Bursa Asia.(Bandung: Universitas Telkom, 2014).hlm 4.

[19]Feby Ridiani,Pendugaan Parameter Distribusi Betadengan Metode Momen dan MetodeMaksimum Likelihood.(Padang: Universitas Andalas, 2014).hlm 23-24

[20]“Distribusi Triangular dan Sifat-sifatnya”, diakses dari eprints.uny.ac.id/1406/ , pada tanggal 20 November 2016  pukul 22.00

[21]“Estimator Parameter α Terbaik Pada Distribusi α-Stable”,http://lib.unnes.ac.id /19102/1/ 4111409016.pdf, diakses pada tanggal 20November 2016 21.59 hal 30

[22]Ronald E. Walpole. 1995,op.cit,hlm.288-289.

[23]    Douglas C. Montgomery, Applied Statistics and Probability for Engineers, 2003, (New York:John Willey & Sons) hlm. 292.

[24]Chintya Ekawati, Kusmaningrum, Fifi Herni Mustofa, op.cit. hlm 137-148.